以经典的跳楼梯问题来解析递推(dfs),记忆化搜索与递推的区别

递归(类似于深度优先搜索dfs)(dfs属于递归的一种)
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记忆化搜索
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递推(ps.记忆化搜索和递推的时间复杂度都比递归小,但空间复杂度高,实现了空间换时间)(动态规划是递推的一个子集)

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优化过程:最暴力的dfs–>记忆化搜索–>递推(dp )

记忆化搜索=暴力dfs+记录答案

递推的公式=dfs向上递归的公式(递推公式通常更容易理解为自底向上的递归)

递推数组的初始值=递归的边界

例题:大盗阿福

题目描述
阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。

这条街上一共有 NN 家店铺，每家店中都有一些现金。阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。

作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？

【输入】
输入的第一行是一个整数T(T≤50)T(T≤50) ，表示一共有T组数据。

接下来的每组数据，第一行是一个整数N(1≤N≤100,000)N(1≤N≤100,000) ，表示一共有NN家店铺。第二行是NN个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。每家店铺中的现金数量均不超过10001000。

【输出】
对于每组数据，输出一行。该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。

【输入样例】
2
3
1 8 2
4
10 7 6 14
【输出样例】
8
24
【提示】
对于第一组样例，阿福选择第22家店铺行窃，获得的现金数量为88。

对于第二组样例，阿福选择第11和44家店铺行窃，获得的现金数量为10+14=2410+14=24。

代码:

  1. 递归(dfs)
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#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N=100010;

int n,T;
int home[N];
//x表示当前正在考虑哪家店
int dfs(int x){
    if(x>n) return 0;
    else return max(dfs(x+1),dfs(x+2)+home[x]);
    
}

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&home[i]);
        }
        int res=dfs(1);
        printf("%d\n",res);
    }

    return 0;
}
  1. 记忆化搜索
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#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N=100010;
int mem[N];
int n,T;
int home[N];
//x表示当前正在考虑哪家店
int dfs(int x){
    if(mem[x]) return mem[x];
    int sum=0;
    if(x>n) return sum=0;
    else return sum=max(dfs(x+1),dfs(x+2)+home[x]);
    mem[x]=sum;
    return sum;
}

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&home[i]);
        }
        int res=dfs(1);
        printf("%d\n",res);
    }

    return 0;
}
  1. 递推
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#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N=100010;
int n,T;
int home[N];
int f[N];

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&home[i]);
        }
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            //f[i]存的是：从第1个店铺开始到第i个店铺 能洗劫到的最大价值
            //f[i]=max(f[i-1],f[i-2]+home[i]);因为f[i-2]当i等于1时1-2越界，故可以给f数组的下标同时加2
            f[i+2]=max(f[i+1],f[i]+home[i]);
        }
        printf("%d\n",f[n+2]);
    }

    return 0;
}

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